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Deskriptive Statistik

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Repetitorium Deskriptive/Beschreibende Statistik

Kurs zur Schulung von Methoden der beschreibenden Statistik. Themen des Repetitoriums:

  1. Einführung in Statistik
  2. Datenerhebungen
  3. Messskalen
  4. Häufigkeitsverteilungen
  5. Lageparameter (Mittelwert, Median, Modalwert, geometrisches Mittel, harmonisches Mittel ...)
  6. Gewichtete Lageparameter
  7. Streuungsparameter (Spannweite, Standardabweichung, ...)
  8. Zweidimensionale Häufigkeitsverteilungen (Korrelation, Regression, Methode der kleinsten Quadrate)
  9. Zeitreihenanalysen (Komponenten, Prognose- und Glättungsverfahren)
  10. Maß- und Indexzahlen (Preis-, Mengen- und Umsatzindex)

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Beispiel Lageparameter

Wenn man aus mehreren Messwerten eine einzige statistische Kenngröße zur Charakterisieung der Größe der Werte ableiten möchte, so verwendet man im Allgemeinen den so genannten Mittelwert oder das arithmetische Mittel. Diese Art der statistischen Kenngröße wird als Lageparameter bezeichnet.

 

Fragestellung

In bestimmten Fällen führt die Verwendung des arithmetischen Mittels zu Fehlern, so dass andere Formeln bzw. Kenngrößen verwendet werden müssen. Wenn z. B. ein Flugzeug, dass 500 km/h fliegt, bei einem Gegenwind von 100 km/h von einem Ort A zu einem Ort B fliegt und bei Rückenwind wieder zurück, wie hoch ist dann die Durchschnittsgeschwindigkeit über die gesamte Flugdauer?

 

Das Flugzeug fliegt mit einer resultierenden Geschwindigkeit von 400 km/h von A nach B und mit 600 km/h wieder zurück. Die resultierende mittlere Geschwindigkeit wäre nach dem arithmetischen Mittel 500 km/h. Nimmt man jedoch eine Entfernung von 1000 km an, so benötigt das Flugzeug für den Hinflug tatsächlich 2 h 30 min und für den Rückflug 1 h 40 min. Daraus ergibt sich eine Flugdauer von 4 h 10 min und eine "mittlere" Geschwindigkeit von 2000 km / 4 h 10 min = 2000 km / 4.1667 h = 480 km / h. Mit anderen Worten, aufgrund des Gegenwindes verliert das Flugzeug mehr Zeit (30 min) als es auf dem Rückflug einspart (20 min). Daher fliegt es länger mit 400 km/h als mit 600 km/h. Dieses Ergebnis ist jedoch von der Entfernung unabhängig, wenn die beiden Teilstrecken gleich sind.

Lösungsweg

Um zu einer gegebenen Fragestellung den richtigen Lageparameter zu bestimmen, können Sie folgenden Entscheidungsbaum anwenden:

 

FrageWenn ja dann ...Anderenfalls ...
1. Stellen die Messwerte Zuwachsraten dar?Geometrisches Mittel

Weiter bei 2

2. Ist ein Gewichtungsfaktor vorhanden (außer Häufigkeiten!)?Weiter bei 5Weiter bei 3
3. Sind Häufigkeiten vorgegeben?Gewichtetes arithmetisches MittelWeiter bei 4.
4. Sind die Werte unsymmetrisch verteilt?MedianArithmetisches Mittel
5. Die Messwerte lassen sich als Quotient darstellen?Weiter bei 6Gewichtetes arithmetisches Mittel
6. Zähler und Nenner sind unbekannt?Gewichtetes arithmetisches MittelWeiter bei 7
7. Ist der Nenner bekannt?Gewichtetes arithmetisches MittelWeiter bei 8
8. Ist der Zähler konstant?Harmonisches MittelGewichtetes harm. Mittel

 

Die Fragestellung zu dem oben formulierten Problem lautet "Wie hoch ist die durchschnittliche Reisegeschwindigkeit während der gesamten Reise?". Es ist also scheinbar kein Gewichtungsfaktor gegeben, so dass der Entscheidungsbaum bei Frage 2 zu dem falschen Ergebnis "Arithmetisches Mittel" führen würde. Hier ist also das eigentliche Problem, zu erkennen, dass die Fragestellung einen versteckten Gewichtungsfaktor enthält. Das heißt, man muss eigentlich eine der beiden folgenden Fragegestellung lösen, wobei in diesem Fall eine Entfernung von 1000 km angenommen wird:

 

(1) "Ein Flugzeug fliegt eine Strecke von 1000 km mit einer Geschwindigkeit von 400 km/h und dieselbe Strecke zurück mit einer Geschwindigkeit von 600 km/h. Wie hoch ist die Durchschnittsgeschwindigkeit?".

(2) "Ein Flugzeug fliegt 2 h 30 min mit einer Geschwindigkeit von 400 km/h und 1 h 40 min mit einer Geschwindigkeit von 600 km/h. Wie hoch ist die Durchschnittsgeschwindigkeit?".

 

Damit führt der Entscheidungsbaum entweder bei Frage 6 zum Ergebnis harmonisches Mittel (Aufgabe 1) bzw. bei Frage 6 zum gewichteten arithmetischen Mittel (Aufgabe 2).

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